重力ポテンシャルのような$1/r$ の形を持つ関数を展開するときに現れる多項式のこと。
具体的には

$$
P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
$$

と書ける。たとえば、

$$P_0(x)=1,\,\,\,P_1(x)=x,\,\,\,P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}$$

である。漸化式

$$(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0$$

あるいは

$$
nP_n(x)=x\frac{dP_n}{dx}-\frac{dP_{n-1}}{dx}$$

から求めることもできる。